C=w0l0 w1v1 (7.45)
式中wi为对于分支i的单位长度成本(i=0，1)；li为分支的长度(i=0，1)。
这种表述可以参看图7-19。应用类似于物理学中折射定律的规则，汉斯提出总成本达到最小值时应当遵守
cosθ=w0/w1 (7.46)
对于这个方程的完整推导，请读者参考罗森(Rosen)的研究。在汉斯方程的应用中规定，成本为单位长度或单位容积的成本，因为成本必将随着各分支流规模的加大而增加，其中意味着w0一定大于w1。
在一个河道中，能量的损失在所执行的系统中，可以被用以估算上述所谓的成本。如果用符号P表示功的损失，则可以得到：
P=ρgQsl (7.47)
式中ρ为流体的密度；g为重力加速度常数；Q为水的流量；S为河道的梯度，即能量梯度线的坡度变化；l为河道长度。这是利奥波德等人在1964年提出的。进一步加以考虑，如若取河道长度l为单位长度并取流量Q为单位容积时，则此时的单位成本Cu即可表示为：
Cu=ρgS (7.48)
将其代入汉斯所总结出的流动成本模式，即有
cosθ=ρgS0/ρgS1 (7.49)
假定流体密度取作常数，则可由上式获得Horton模型。正是基于这相同的思虑，豪顿于1932年总结出了他的最优角度几何模型，它可以被认为是由坡度所权重的河道长度之和的最小值化。
1971年哈瓦尔德(Howard)指出了与豪顿模型相联系的几个缺陷。其中一个是关于支流汇入接受河道时的状况。哈氏认为Horton模型缺乏对接受河道的应有修正。因为在地理系统中，接受河道即主河道在交汇处通常是偏斜或弯曲的，如不加以必要的修正就会导致模型本身失真。他指出的第二个缺陷是：当河道梯度接近于相等的两条河流互相交汇时，按照Horton模型所确定的汇入角度，将趋向于零度。但是实验研究与野外考察均发现，具有相等梯度或近似相等梯度的支流之间的交汇角度并不是零度，而是相当大的。
面对上述两个缺陷，哈瓦尔德定义了关于“接受河道主轴延长”的两个进入角度θ1和θ2，这可应用图7-20加以说明。
在这样的处理之后，一个基本的Horton模型就能建议改为：
根据处理后的这个模型对于原先Horton模型中的有关争议，即可被分开应用于这个接受河道主轴方向上的每一边。为了进一步总结这个模型，哈瓦尔德采用了河流交汇时的水力学几何关系及连续方程：
Q0=Q1 Q2 … (7.51)
它说明，在一个接受河道的交汇处，其流量应该等于汇入的各个支流的流量之和。加上河道坡度S和流量Q之间的关系，经过统计得出：
S=tQz(z