三、河流交汇最优角度的几何模型
在河系网络的研究中，支流交汇的角度，是研究网络结构和流域形状的又一个基本成分。赞尔尼兹早在1932年就曾认为：流域模型的分类，应当“极大地落在对于支流交汇的角度分析上”。尽管在更早的时期，已有人提出流域中支流交汇角度的规律(play-fair)，并且指出了这种角度分析在理解水系网络结构中的重要性，但是毫无疑义，真正在这个问题上所进行的深刻理论分析工作，仅仅是在近年来才得以比较显著的发展。这里，必须涉及两个十分有影响的理论模型：
其一，Horton定律；
其二，最小功模型(minimumpowermodel)。
到目前为止，大多数地理学家均把注意力放在对于Horton模型的应用上(如Schumm，Howard，Pieri)。由于该模型的理论价值以及所述内容的完整性，因此在各类文献上很容易查得。相对而言，哈瓦尔德(Howard)的模型就远不如Horton模型那样得到广泛的认识和应用。然而，上述两个模型在理论上却产生了异乎寻常的相似结果，这从两个模型的自然河道的一系列典型参数中均能看出，并且经得起任何形式的检验。对于此一类问题，路依(Roy)则进行了比较全面的评述，并且还作了比较系统的总结。
首先，我们想提出两个角度几何分析模型，它们均基于一种最优化原则。该原则的基本含义是：“一个系统将执行最有效的功能。”同时，河流网络体系的几何结构将被认为是：包括在该网络系统中的运行和维持的成本，应当是最小的。以上见解即为所要介绍的角度几何分析模型的基础。如此看来，Horton模型可以很恰当地被评价为最小功损失模型的一种应用特例。而除去最小功损失之外的其他几个最优化标准，也将会在讨论中被涉及到，这就使得我们有可能总结支流注入时的角度最优几何模型。那些最优化标准，通常可表达在已经简化了的(或抽象出的)水文学几何关系的若干项目之中。作为结果，一般的最优角度几何模型，将在此作较详细的分析。依照这些模型所确定的最优角度，它们能够表述为在河网交汇点处支流相对大小的函数，即水力几何指数的函数。
(一)豪顿和哈瓦尔德河系支流模型的理论基础
豪顿于1926和1932年，曾根据一个谷地剖面上，沿着最为陡峭的梯度线上的面流，提出了他的模型。这样，在此剖面上的面流线和集流向下的河道之间所形成的角度θ，可以由一个三角函数关系表征，豪顿已在1932年将其归纳成：
cosθ=Sc/Sq (7.43)
式中Sc为河道梯度；Sq为坡面梯度。以上的说明见图7-18。
随着地面坡度Sq比河道梯度Sc越来越陡峭，相对应的θ也将越来越大。1945年豪顿又修正了他前些年所提出的这个模型，并且明确提出：一个主要的河流被一条支流所汇入时的角度也可表示为：
cosθ=S0/S1 (7.44)
式中S0为接受河道的梯度；S1为所汇支流的河道梯度。
在较陡的坡面上所发育的小支流，应当进入或合并于一个很低梯度的大的接受河道(主河道)，此时它可能以一个相当大的角度(接近90°)，汇入到这个接受河道中去。
为了导出他的模型，豪顿并没有依靠或采用最优化的方法。在完全独立的情况下，他发现了单位流量的一个最小功损失的解。我们说树状网络的交汇以及交汇时的角度，完全具有普遍意义，因为在生物学中汉斯于1903年也曾发现了相似的规律，他所研究的人体动脉血管分支角度的第一个数学模型，与在自然流域中水系网络的分支角度数学模型(即前述的Horton模型)，具有惊人的相似之处。因此汉斯模型也可以作为良好的例子为地理学家所借鉴。汉斯的模型首先假定，支流进入主流的角度服从于一个基本原则，即血管中传输流体的成本应该是最小的。由于成本总是比例于运输的路径长短，因而在该情况下的总成本(C)可以表达为：