6．2 空间相互作用
6．2．1 牛顿势
空间存在若干区域或局域，它们负有一定的资源(包括资金与市场，见第七章)，人口、空间可达的情况下，资金、人口会因市场、就业机会等的存在发生联系，这种联系表现为局域之间的相互作用，这就是空间相互作用．空间相互作用的量度被一般地取作商品流、资金流、人口流，即用A城市的人口(商品)达到B城市的数量来度量A对B的作用．这里就出现了两个问题：其一是A对B的作用不一定等于B对A的作用，也就是B的人口(商品)不一定以同量数量达到A；其次是A、B两个城市一段时间内人口(商品)的总量是动态的，甚至是单向流动的，相互作用是不稳定的，进而是迅速演化的．这两点都有悖于我们在物理学中对相互作用的理解，为了克服这种困难，空间相互作用并不要求类似的“牛顿第三定律”成立，并且用流出现的频度或概率来度量相互作用，以消除空间系统演化和波动的影响．引用频度代替流，可能使过程并不完全等价．Smith(1987)引入了一个公理系统试图来解决这一问题．
在长期发展中，人们已经发现空间相互作用具有随距离衰减的形式，于是建议用牛顿引力公式．
来度量相互作用．这里m是B的需求，M是A的供应．G是经验常数．有时也把m，M分别解释为两地的人口，由此可见G本身起了归一化系统的作用．(1)式在运用中发现并不合理，后来发展了
的形式，可以看出，这对问题并没有实际性的改变反而增加了问题的不稳定性．因为参数a1，a2和b的变化对F干扰较大，而如何给出参数成了困难．
应用(1)式可粗略讨论了两个城市A，C对市场空间的划分．设需求均匀地充满了整个空间，A，B距离为d，则空间必然有一点r(以A点为零点)使
成立，可以认为这一点就是空间相互作用(场强)的平衡点，简单变形得
这一结果的意义在于空间相互作用会对空间产生一种“势力”划分，这就意味着区位和空间结构，这就意味着“空间竞争”．
6．2．2 最大熵模式
关于空间相互作用的牛顿模式显然是缺少根据的，阿·威尔逊(A．G．Wilson)1967年从最大熵原理出发导出了第一个理论模型，Wilson的工作给空间相互作用研究带来了根本的进步．
Wilson设空间有若干个局域，Oj表示局域j的总供给量，Dk表示区域k的需要量，Tjk表从局域j到局域k的空间流置，Cjk表从j到k的流动费用(广义距离)，C为总的可供流动的费用，这样区域系统中的流存在下列约束关系
(6．2．7)
Wilson认为，在系统封闭的条件下，系统的熵应趋向于最大．这时系统达到了一种宏观上稳定的状态，为此取系统的熵为
S=lnΩ (6．2．8)
Ω表示了系统的微观状态数，这里 Wilson将区域系统处理作一个统计物理的热力学系统，或称宏系统．最大化(6．2．8)，即求熵达到最大时系统的最可几状态分布，即求出宏观上观察到的相互作用强度<Tjk>．利用拉格朗日方法求约束(6．2．5)，(6．2．6)，(6．2．7)的(6．2．8)最大值状态得
<Tjk>=exp(-λj)exp(-νk)exp(-βCjk)
(6．2．9)
仍记<Tjk>为Tjk，注意到exp(-λj)exp(-νk)为常数，并将Tjk为归一化有
Tjk=AjBkOjDkexp(-βCjk)
(6．2．10)
式中
(6．2．11)
(6．2．12)
( 6．2．10)式表示的空间相互作用Tjk，有二个特点：第一，它是大量统计的结果，要求n， m很大，所以说它是地理学宏观表象．第二，熵达到最大的可能性对孤立系统才有意义，仅考虑商品交换，至少要求系统是对商品封闭的，不然最大熵无意义．从全球的角度看，商品系统是封闭的，所以空间相互作用可以具有以exp(-βCjk)衰减的不变形式，而系数Aj，Bk的确是与区域系统有关，以后我们以f(Cjk)记空间相互作用的核exp(-βCjk)，我们知道，球观问题是复杂的，不能认为全球有统一的β值或Cjk度量水平，所以Wilson的理论只能称为在宏观意义下认识“全球封闭意义上”的区域间的空间相互作用．
在实际工作中，常考虑某些简化形式，设需求充分或过剩，供给不足，流通费用不足，则放弃约束(6．2．6)，可有
Tjk=DkAjOjf(Cjk)
(6．2．13)
可得
Tjk=OjBkDkf(Cjk)
(6．2．14)
Tjk=PjPkf(Cjk)
(6．2．15)
式中，Pj称为规范因子，分别正比于供应Oj或需求Dk，这里如理解Pi为i地(局域)的人口数，则隐含生产Oj是人口Pj的正比函数，需求Dk是人口Pk的正比函数，这是一类特殊的生产函数和需求函数．
在后来发展中，Wilson(1974)考虑了供需可能的不平衡，把空间关系相互作用修改为
Tjk=AjBkOjg(Dk)f(Cjk)
(6．2．16)
释，为理论的发展开辟了新道路．
6．2．3 口粒子模式
王铮、邓峰、杨云彦(1986，1991)把空间相互作用解释为人口、资金等在二维空间作布朗运动的宏观表现．王铮等认为人口等粒子是有寿命的，这种有寿命粒子称为口粒子(population-particle)，口粒子本身的扩散服从Brown运动．在考虑人口寿命和迁移可能性时，引入迁移率寿命分布
于是他们导出空间相互作用具有一个基本形式
f(r)= kexp(-βr)
(6．2．18)
这里f(r)称作相互作用核，r是广义距离测度，其中β被发现应为
个域元扩散到另一域元的时间，或称在域元中的停留时间．域元的大小是与观察的地理过程有关的．他们认为对人口扩散来说，农村的扩散以村落为域元，市区的扩散以街区为域元，而全国性的扩散则以城市为域元．因此各种扩散所引发的相互作用，其β值不尽一致．当政策有助于
加强，当区域内部差异变小时，h2变大，区域间相互作用增强，区域的资本倾向于区间竞争．
王铮等进一步建议相互作用形式为
其中，Qj是局域j人均(或资本均)机会测度．因子Qj的引入，意味着空间在Qj的影响下发生极化，(6．2．19)表明空间相互作用不满足“牛顿第三定律”．
王邓杨的工作表明空间相互作用的指数形式是需要一定的条件的．在Brown运动和(6．2．17)式迁移率形式下，有指数形式．进一步地，由空间位势论(王梓昆，1983)知，牛顿势是三维空间Brown运动的结果，地域空间也是二维的，牛顿势并不合理．
关于相互作用的理论研究，一个重要的进展应是T．Y．Smith(1987)的公理化理论，他设空间流是泊松流，在这种条件下每个流产生一个频度，而两个局域间联系频度的数学期望被定义作相互作用，由此他展开了自己的理论．在Smith理论中，空间广义距离rij可能是个矢量rij=
为行阵(β1，β2，…βl)，β·r为标量．由此，空间相互作用得到了广义的推广．