6．4 空间动力学
6．4．1 基本理论
空间动力学的基本理论是以口粒子为基本形象的，口粒子动态过程，产生了空间聚集和反聚集(disaggregation)，从而带来空间景观的变化．
描述空间动力学过程的理论是口粒子的随机扩散理论，这种理论又可分为两种类型，空间是连续的和空间是离散的．后面一种理论被普遍地重视．Kanaroglou，Liaw和Papageorgiou(1986)系统地阐述了这一理论．
设空间有L个区域，N个口粒子(人口，资金等)，n表示口粒子的分布矢量
n≡(n1，n2，…，nN)τ，0≤ni≤N，Σni=N
(6．4．1)
给定一个确定的基态n，定义空间系统的状态m，它是对初始态n的偏移
m≡(m1，m2，…，mN) 0≤ni+mi≤N
|mi|≤N，Σmi=0，Σ(ni+mi)=N
(6．4．2)
记
=｛n+m｝，
=｛m｝
假设1，系统当即状态仅仅依赖于上次观察的状态．
以 P(n+m；t+Δt|n；t)表示从 t时刻系统状态 n经历 Δt后转化为状态 n+m的概率，在每一时刻系统有且仅有一个状态，于是我们有
(6．4．3)
(6．4．4)
又由切普曼-柯尔莫哥洛夫公式，有
(6．4．5)
式中，P(n，t+Δt)表示系统在 t+Δt时处于状态n的概率．由假设 1可以证明空间系统满足主方程
(6．4．6)
这里
(6．4．7)
或
(6．4．8)
称作单位时间内系统状态从n+m转移到n的概率变率．关于主方程的意义，可以进一步参考统计力学书籍．
定义pij(t，Δt)是时间[t，t+Δt]内个别粒子从区域 i迁移到区域j的概率，那么自发转换概率关于时间的密度为
这里qij表示了在Δt内粒子系统将从状态j转移到状态i的概率分别为qijΔt．这里描述的是粒子系统状态而不是个别粒子状态的转移．进一步地引入：
假设2．粒子迁移运动是独立的．
借助假设2，已经证明主方程(6．4．6)可化作
(6．4．10)
式中，<x>表示随机变量x的统计平衡，是宏观可测量，统计热力学已经表明，粒子数充分大时，宏观上只可能测到<x>．
定义Pi=<ni>/N，则式(6．4．10)中的<ni>可代之以Pi，进而设qij与时间无关，代以常数fij，则(10)可以化作
(6．4．11)
显然求解(6．4．11)式要求了解fij的具体形式．由6．2节的讨论，我们知空间相互作用具概率意义．在(6．4．11)中Pi(t)的变化物理上可以理解作i局域中相对人口数的变化．人口变化的原因，或者是因机械过程或者是因迁移过程．在N给定的情况下，Pi的变化是依赖于迁移，所以(6．4．11)右边表示了迁移过程，自然地fij应被解释作从j迁向i的相对比重，fjiPi(t)表迁入j的人口，fijPj(t)表迁出j的人口，fij反映了在i，j之间迁移的测度．如我们在5．2节中讨论的，fij应具有空间相互作用的意义，或者我们即约定它为空间相互作用强度．因此至少它应类似于一般的空间相互作用．具exp(-βCij)为核的形式．近年来于非线线分析理论的发展和计算机的普及，众多的作者对(6．4．11)式确定的空间动力过程作了讨论．如Zhang(1988)，Weidlich，Haag(1987)Tabuchi(1986)等．(6．4．11)式有时比(6．4．10)式优越，因为只要各地出生率保持不变，Pi表示的相对人口数也将保持不变，从而使之适应分析出生率不为零情况．对于(6．4．10)式来说，qij=fij(与时间无关)时，为分析人口动态，还得在右半边加上出生率项γ．张伟斌证明，在某些特殊情况下，(6．4．10)式或(6．4．11)式的解乘于exp(γt)后，相当于其右边加上γ．
上述讨论限制于空间是离散的情况，它不能讨论区域或城市发展中地域扩张，中心迁移的现象；对于这类我们需要考虑空间是连续的．
在空间是连续的情况下，主方程具有下列形式，称作福克——普克方程或前向柯尔莫哥洛夫方程
(6．4．12)
这里P(t，x)表示时刻t状态为x的概率密度，a(x，t)称作随机过程的偏移系数．b(x，t)是扩散系数．方程(6．4．12)一般用于考虑空间扩散的传播作用．
6．4．2 区域的动力过程
1．聚集
Weidlich和 Haag(1987)研究了区域动力过程：设有L个局域，以ni为状态，并设L个局域的总人数为N，记Wji(t)为单位时间内从局域i到j的迁移，Wji=pji(t)ni(t)．相互作用pji(t)取作
pji(t)=W exp[-KCji(t)]
(6．4．13)
广义距离被定义作人口量的差
Cji(t)=ni(t)-nj(t)
(6．4．14)
由主方程得局域j的入口变化率为．
(6．4．15)
求解(6．4．15)式发现存在一个临界值κc=L/2N，则
(1)当κ＜κc，那么均匀状态(n1=…=nL)是稳定平衡状态，即区域内各局域是趋向于均匀状态，不会出现空间聚集．当κ＞κc时均匀状态虽然是平衡点，但它是不稳定的，即将会出现空间聚集．
(2)当κd＜κ＜∞时，存在一个稳定平衡点，一个局限增长，L-1个局域衰退．人口向中心城市不断集中，中心城市的出现依赖于“偶然”的空间涨落，均匀状态是不稳定平衡点．这里κd＜κc，是一个新的阈值．
(3)当κc＜κ存在一个新的平衡点，在这个过程中有 P=L/2个城市局域有稠密的口粒子P个城市有稀的口粒子．粒子密度差决定于聚集参数κ，当κcp＜κ＜κc，存在着两种类型的稳定状态，均匀地发展和向中心城市聚集都是可能的前途．
Tabuchi(1986)研究了一个两城市体系的空间相互作用具有rij的负指数函数的情况，结果发现有类似上述的情况．
2．增长
如果空间已经有极化存在，城市增长一旦出现时，对系统的运动有着重要影响．这个极化单元，相当于空间有一个种子，重新解释(6．4．12)式的P为聚集强度或密度，这样，我们取连续背景下的空间动力学过程满足反应-扩散方程
(6．4．16)
f(P)表示了空间的源的作用．请注意我们并不表示f=f(P，x，t)而是f=f(P)，这就意味着空间源的作用仅与该点的口粒子密度(实际上是聚集强度)有关，并且这种作用也不随时间演化．这里的(6．4．16)被称为反应-扩散方程．
王铮(1988)研究了偏移系数a=0的情况，即城市中心无迁移．在这种情况中，设b(x，t)=2α2，即空间是均质地域，f(P)=βP，仅考虑聚集作用的一次效应；这时有方程．
这里P可解释作空间的口密度．可以发现若干空间原始密度处处为0，即边界条件为
P(x，0)=0
(6．4．18)
则系统仅有平凡解
P(x，t)=0
(6．4．19)
空间永远不会出现聚集，这个结果意味着要出现空间增长，“涨落”是必要的．
如果空间由于“涨落”出现一个种子使得
P(x，0)=Jδ(x)
(6．4．20)
这里J是空间种子出现的强度，δ(x)是狄拉克函数．求解(17)，(20)得到解
(6．4．21)
(6．4．21)式表明种子出现后会使空间出现普遍的增长．空间出现中心的效应的不断扩散到邻域中．但是空间出现不断增长的条件是要求β＞0，也就是说空间内每点均有正的增长效应，如果β≤0，则空间增长和聚集效应是不可能的．这一分析表明一个正在如发展的经济开发区，要使经济持续增长，就要求把增长的结果一部分用于投资，另一方面果一个区域仅靠“输血”，从外部扩散过来，经济状态对应的量P(x，t)是不会超过中心的发展程度P(0，t)的．
(6．4．22)
当C＞0，表示区域有正的增长；C＜0则表示区域出现衰退；C=0是一有意义的空间位置，它划分了增长区与衰退区．
C=0的位置r由下式决定
r2=4α2(t-βt2)
(6．4．23)
(6．4．23)式表明空间增长与衰退区的范围随时间变化．分界线(C=0)的位置为
在x＜r时，C＜0，域内的增长率是负的，P在衰退，这时有两种情况，β≤0，当→∞，r→∞，即区域经济得不到增长，只有一个早期均匀化作用导致的外围经济的发展，然后出现一个持续的全空间的衰退．β＞0的情况较为复杂一些：1)当t∈[0，1/2β]时，衰退范围不断地扩大，从质点开始，越来越大的区域衰退，这种情况可被称作空心化．然而由(6．4．21)式我们知道空间始终以x=0点强度最大．空心化表现在增长速度上而不是强度上的．这种空心化被称作第二类空心化．2)当t∈(1/2β，1/β)，r在减小，这意味着衰退范围向中心退缩，区域经历了一个衰退期后，边界区的发展带来中心地区的增长，空间出现第二次增长． 3)当 t＞1/β时， r不存在，由(6．4．22)式知整个区域差不多以βP(x，t)的速度在增长，空间出现整体增长．
β≤0，β＞0都出空间增长率空心化．我们称β≤0的情况是n型(第二类)空心化，β＞0是p型(第一类)空心化．n型是古典衰退，p型是增长衰退．