一个三次方的方程，可能有1个或3个实根。可以指出，具有3个实根的条件为：
对此，当然包含这样的结果：
由上述值域所规定的边界为：
此即图11-21（图略）中所绘出的(u1，u2)平面上的尖点形曲线。
在整个平面内不同位置上的点，被认为是应用在数学上解析的标准方法，对该种类型所获得的结果，并用此去表征不同的(u1，u2)组合下所能形成的x与E之间的关系。在尖点区范围内，很明显地看出有两个最小值和一个最大值；而在尖点区范围之外，仅有一个最小值，而最大值则不分明。为了能够获得表达E为最小值时所形成的表面(x，u1，u2)，我们可以陆续扩展到3-D情形下加以讨论。很容易看到，对于尖点区域以外的
最小值，这样其表面必然应当是折叠的，如图11-22（图略）所示。
在u1，u2平面之中的尖点区域，明显地可被看作是“表面”的折叠部分在u1，u2平面上的投影。
u1和u2对于系统来说是外加变量，其改变可在u1，u2平面上找到路径。在接近于尖点区域的边界时，发生了一种奇异的现象，指出它是一个临界区域。
考虑图11-23（图略）(u1，u2)平面上的路径AD，并且对照着图中势函数面的相应曲线。例如在B处，正在进入尖点突变区，但是系统仍然停留于折叠部分的上表面状态；在C处，即将超越尖点突变区，随着u2的继续增加，系统必然跳跃到下表面。而后，行进路径可以重新以直线方式按照图示的方向重演，在F处将发生跳跃，又一次回到上表面。由以上分析，明显地感觉到一种滞后效应的存在。
以上我们简单地介绍了突变理论的入门知识。作为理论地理学的一种武器，我们很想使用该理论合理地解释地理系统中的跳跃现象。也就是说，我们始终关心在突变理论的引伸中，把地理学所涉及的渐变时间过程与突变时间过程，较好地联系在一起，而后才有可能在更深的层次上统一地刻划地理过程的行为本质。例如利用折叠式突变模型，解释或者应用到人文地理中的设施大小与吸引距离之间的关系问题。当然，除此而外对于自然地理学中的河道分叉问题，水陆变迁问题等，突变论已经有了成功的运用。
在人文地理学中，购物中心大小的空间分布问题一向是很热烈的讨论课题。为了方便起见，我们也利用该问题作为突变论的解析对象。众所周知，该问题的本质是：假定每单位投资额的盈利，平均而言随着此类设施规模大小的增加而增加；而随着离开该中心距离的加大而减小。对于此类问题的核心考虑是：首先，我们将如何对设施大小的盈利与距离大小的成本之间进行平衡；其次，如何选择更好的解，以便确定一种理想的决策，即是以一个大的设施吸引最远距离处的人呢？还是以许多小的设施去服务平均距离较短的状况呢？
我们只能在较宏观的分辨率水平上考察该问题，即我们并不过细地区分其空间分配。令W为购物中心的平均大小，C为到达该购物中心的交通费用成本。正如在极端解中所看到的那样，我们所期望的W与C之间的一个函数关系是，C越大则W越大。这里我们将取C作系统的内部状态变量，那么倘若购物中心的规模较小时，则所对应的平均服务距离就小，反之亦然。