五、经济平衡模型
在经济活动中，尤其是在生产过程中，应用投入—产出模型进行分析，是一种常见的经济分析方法。投入—产出模型的一般形式为：
x＝Ax＋f (18.23)
式中x为以货币形式测量的部门生产水平的一组向量；A为带有元素aij的一个典型的直接系数矩阵，用以表达从i到j的流动状况；f为家庭、政府和海外最终需求者的一组向量。每一个部门的产品除了自身的消耗外，毫无例外地都要流动到或转移到其他部门直至最终到使用者的手中。同样，每一个部门也均要接受或购买从其他部门输入来的产品，加上初级的投入如劳力、资本、服务、管理技术等，以便创造出价值。至于系数矩阵，通常是在某个给定的基础年份中，通过各部门间互相联系状况的总体流动分析而获得。我们可举一例加以说明，这是1968～1969年度，澳大利亚各工业部门之间的流，即我们所说的总体系数矩阵(见表18-5)
在阅读该表之前，对于Leontief方法的数学实质应有一定的基本了解。［89,90,91,92,93］华罗庚曾经对此加以简略的诠叙，他使用
x(0)=x(1)A
因此
x(1)-x(0)=x(1)(1-A)
该式已经概括了列昂梯也夫原理。在列氏的贡献中，他特别强调(1-A)-1即“列昂梯也夫倒数”的求算，并建议使用
为此，要求计算A的每一个乘幂(k＝1，2，…)。但事实上早在1960年以前即知，只需计算A，A2，…A2k，…等乘幂已足够，这是因为：
若命B0＝1＋A，则Bk为：
Bk=Bk 1(1 A2k)=Bk-1 Bk-1A2k (18.28)
由此可见Bk将以很快的速度收敛于(1-A)-1。以下我们还要使用该倒数。
满足任何外部要求所需的直接产出水平和间接产出水平，可以由“列昂梯也夫倒数”确定，即
x=(1-A)-1f
现在，我们通过引入时间变量分析经济增长的概势：
表18-5 澳大利亚工部门之间(1968～1969)流动
的系数矩阵编列(单位：百万澳元)
xt=(1-A)-1ft (18.30)
一旦我们确定了进入上式的ft要素及其所包括的具体数值后，该式就将成为生产水平和经济发展速度的预测模式。
就业、能量使用以及工业企业向地理空间内的污染物发射等，均可纳入到一个投入—产出系统内进行统一的分析。不过，对于各种不同的情况，需要增加某些必要的系数矩阵。例如，一个矩阵N(包含着典型的要素nkj)即表示部门j每生产1元产出价值所需要的技术水平为k的工人劳动时数。不同技术熟练程度的工人的总需求量(向量m)可表示为：
m=Nx
=n(1-A)-1f
这种类似的分析方法，同样可用以确定能量的投入和地理环境中污染物的负荷等。随着生产规模的日益扩大，公害问题越来越成为社会关注的重大问题。对于地理学研究者来说，尤其关心地理面的质量优劣及其变化趋势。这样，工业生产活动对于地理环境的污染，已成为经济发展中必须考虑的基本问题之一。一般均假定，工业向环境发射污染物的投入—产出模型，随着生产规模的加大，污染强度将呈比例地增加(在不加控制的条件下)。在某个基础年份，每一生产部门有确定数量的不同污染物投放到地理环境中，这种投放的数量，可以用矩阵R表示。矩阵R的行，指示不同的污染物类型；矩阵R的列，指示污染的排放部门。至于发射数量，通常采用物理学单位，有时也采用经济学单位。这里有一点是十分明确的，即建造矩阵R是相当不容易的。在燃料发射的情形中，通常的程序包括在基础年份中各种燃料类型在不同部门的燃烧数额，而后通过燃烧中残留物数量的工程估算而获得。假定有关的发射因子矩阵E(即每燃烧单位燃料所产生的污染物的物理量)已给定，那么每一种类型的燃料都会形成自己的发射因子集。即使如此，燃料的特殊化学特性、不同设计形式的燃烧器、燃烧时所采用的方法等，都能显著地影响着污染物向地理环境中的发射效应。