7．3 硬资源的开发利用模型
7．3．1 硬资源开发的地理原则
资源(本节均指硬资源，除非特别声明)总是赋存于一定区域内的，它的开发利用必然对地理环境产生某种冲击，由于科学对环境演化的预测和控制能力都还相当有限，我们对资源开发产生的环境后果不可能有充分的认识和有效的控制对策．尽管原有环境的破坏有时有积极的意义，但在不幸的情况下，可能带来不可估计的后果．在这种形势下，人类风险决策的最好方法是尽量保护原有环境，或把对环境的冲击控制在某一可以接受的代价范围内，因此我们认为资源开发的第一条原则是环境保护与控制．
资源开发的第二条原则是“社会稳定原则”．资源开发对区域的冲击，可能带来地方社会的变革和冲击，如大型水利工程可能带来大规模的移民与就业问题，引发社会动荡．引用系统论的观点，系统的运动或者趋于无穷远，或者趋于混沌，紊乱不定，或者趋向极限环、出现周期性波动，或者趋于稳定的平衡点．对区域系统的干扰，应当能促使其趋向某一稳定状态，不然的话社会长期的紊乱和动荡，会造成生产中断、经济混乱，对资源利用的目的必将被破坏，因此社会稳定是资源利用的重要原则．
由资源利用的目的产生了资源利用的第三原则，既最优利益原则．资源利用目的在某种经济利益，自然我们要求这种经济利益达到最大或达到一定的程度．这样可能产生两种具体目标，其一是最大利润，其二是最优福利，从人类的长远、根本利益来看，后者是更具战略意义的目标．
环境保护与控制、社会稳定和最优经济利益是资源开发和利用的三个基本原则，如果我们用原则的部分形式作优化目标，另一部分必然转化为约束条件．
7．3．2 第一类硬资源开发利用的基本方程
对于第一类硬资源来说，已经发展了成熟的最优控制理论，这一理论的出发点是资源是可耗费的，同时资源量又是动态的，所以资源利用有一个达到最大利润或利益的对资源动态系统的控制问题．
第一类硬资源的资源系统一般可以写成下列方程：
这里X是资源量矢量，u是控制变量，对可更新资源，一般可以渔业模型为例，有方程
这里G(x，t)是资源的再生能力或更新能力，表示t时刻资源系统的再生量，u(t)是资源开发耗费量，也就相当开发的瞬时经济效益．显然，“竭泽而渔”的开发方式虽然能获得暂时的经济效益，但破坏了资源更新能力则会使资源系统崩溃，因此产生了最优控制问题．
当我们视X为生产资本时，(7．3．2)也对资本资源系统成立，这时的u(t)可以看作消费额和税收，所以可更新资源模型都属于渔业型．
对于不可更新资源，一般发展为矿业模型，这时有：
资源量的变化是开采量单一决定的．
在最优经济利益原则指导下，可以建立目标函数：
u(t)∈ U
(7．3．4)
式中，U为控制允许集，即可能做到的控制策略的全体．L(x，u)是效益函数，一般定义作
L(x，u)=[P(x)-c(x)]u(t)
(7．3．5)
这里P(x)是资源价格，c(x)是开发及运输销售费用，T是上限时间，对可更新资源，T→∞，因为人类总是不希望资源枯竭，对不可更新资源，T是一个有限量，即资源的服务年限，由实际情况给定．考虑经济问题的资金运行特征，目标函数乘上贴现因子e-δt，δ是贴现率．为了求解(7．3．1)，(7．3．5)定义的最优化问题，需要引用最优控制理论，取系统的哈密顿函数为
H=L(x，u)+λ(t)f(x，u)
(7．3．6)
这时有规范方程
(7．3．8)称为系统(7．3．7)的协态方程，容易证明λ是资源的影子价格．(7．3．7)，(7．3．8)是最优开发策略(x*，u*)应满足的系统方程，由系统的极值原理(定理)给出的哈密顿的极值条件、横截条件和边界条件容易写出求解的基本方程．
由于资源学家的努力，一般认为生产函数u(t)有下列形式：
u(t)= qEα(t)·Xβ(t)
(7．3．9)
式中，E为开采设备条件，X为资源量，α，β为参数，q为比例常数，所以生产量的实际控制能力为E(t)．
对于矿产资源，Farrow等(1989)取下列方程为确定T的横截条件：
λ(T)≥0
(7．3．10)
e-δTλ(T)X(T)= 0
(7．3．11)
条件(7．3．10)认为，当市场上资源的影子价格小于零时，资源开发应停止，而条件(7．3．11)除了考虑影子价格，还考虑贴现率过大或资源因开发、损耗、折旧从而收获量接近于零时，开发也应停止．
7．3．3 第二类硬资源开发与分配模型
1．开发模型
第二类硬资源与第一类硬资源不同，资源利用者并不是对资源本身加工，而是对它所能提供的潜力或条件加以利用，以土地为例，我们并不加工土地为其它形式，而是利用土地的承载能力或潜力．容易发现，对第二类硬资源的利用过程，可能带来潜力的退化，也可能产生容量的收缩，所以必须对它们进行不断地投资以保证资源的潜力和容量维持正常的生产能力或开发出新潜力．
以P记第二类硬资源的潜力或容量，一般有资源状态转化方程
式中，P是状态矢量，矢量函数g(P)≤0，是潜力衰退函数，u是投资量，f(u)是投资效益函数．最简单的情况下，状态方程可以写作
其中a≥0，b＞0，方程(7．3．13)抽述了第二类硬资源在投资下的最简单的线性动态．
关于第二类硬资源开发问题的最优控制有两种提法，一种是最小费用目标：
边界条件是P(0)=P0，P(T)=P1，求解这个问题的哈密顿定义为
H=u2+λ(t)(g(P)+f(u))
(7．3．15)
最优状态和协态方程为
最优控制的另一个提法是最短时间控制，尽快地实现某一潜力或容量，这时的目标函数为：
这种追求速度的开发战略，应于第一类硬资源开发中的“有水快流”方式区别开来，对第一类硬资源来说，如果急功近利地盲目加速开发，缩短服务年限，将导致资源枯竭，或资源开发的设备潜力得不到充分发挥，从根本上使资源的价值打了折扣．而对于第二类硬资源，追求高速度主要是为了尽快实现于潜力，或缩短“等待容量空出”的时间，因而从根本上是提高资源利用效率的．
与第一类硬资源相似，第二类硬资源也存在最大利润目标，这时考虑控制目标为：
(7．3．19)
这里G(P)是潜力的产出量，它相当于增加一个静态方程，它与P决定了一个市场收获，u是投资额．在这种情况下，关于第一类硬资源的横截条件可以用于目标J3．
值得注意的是，对第二类硬资源的投入u并不能立即生效，而有一个时延τ，因而更合适的控制系统应为：
G(P)= maxC(P)
(7．3．21)
这里方程(7．3．21)表示关于P的利用分配力求达某种最大值．对于承载性资源，不同的分配方案和利用方向，产出的收益也不一样，因此我们在确定G(P)时需要涉及资源分配问题．
2．承载性资源的分配模型
常见的承载性资源有土地、水源、交通网等，在考虑承载性资源分配(利用)时，一般有下列几种形式：
(1)n种产业需要一种资源，记xi为资源在第i产业中的分配量，则有
这里b是该资源的总可供给量．
(2)n种产业需要m种资源，产业部门相互独立，资源之间也独立，设产业i的(一年)发展量为xi，则有：
AX≤b
(7．3．23)
这里X=[x1，x2，…，xn]T为产业发展向量，b=[b1，b2，…，bm]为资源供给能力矢量，A为资源消耗系数矩阵．
(3)n种资源，利用它们的产业部门相互支持，于是有约束条件：
AX≤X-U
(7．3．24)
这里X是资源的适度开发矢量，A是相互关系定义的技术系统矩阵，U是资源调出矢量，当uj＜0，意味着j种资源的调入．
我们称这三种关系为资源的量约束，在地理工程论中，往往还要有其它开发利用原则，形成其它约束条件，这些约束条件可以形式地表示为：
BX≤(或=，≥)d
(7．3．25)
这里B为系数矩阵，d为约束矢量．
在资源量约束条件下求解目标函数
maxJ=CτX
(7．3．26)
的问题称为基本问题，对于基本问题，已有下列结论：
(1)约束(7．3．22)的基本问题一定有解；
(2)如C≥0，约束(7．3．23)的基本问题有最优解的主要条件是基本可行解非退化；
(3)对(7．3．24)只考虑平衡解，而不求最优解，u＞0，平衡解存在的充分条件是(I-A)为正定．(李楚霖、林少宫，1985)
考虑地理工程其它约束的资源利用问题是非基本问题，这类问题不一定有最优解．
资源之间往往可替代，这时将引出更复杂的数学问题．
在资源利用问题上，资源类型是可以转化的，比如矿产资源可以处理作第二类硬资源，实际上考虑对它的开发能力有限，这个能力产生的矿产供应量(不是储量)在开发时期是第二类的．市场资源，具有一定的容量，也可以处理为第二类硬资源，在土地的城市利用过程，使土地转化为第一类硬资源，因这个利用过程更新期太长．总之，资源的功能类型必须就开发利用过程而言，不能硬性与资源的实在形式完全等价起来．