10.4.1波动声学基础
由§10.2给出的理想介质中线性平面声波方程中位移ξ与声压p成线性关系，则有
此即一维线性声波波动方程，其形式解为
ω为简谐振动的角频率，将上式代入波方程，分离变量后得空间部分的常微分方程
取复数组合。声波在无限空间传播，取复数的形式更适合，即
A、B为两个常数，由边界条件决定。波方程全解的形式为
其中第一项为沿正x方向前进的波，第二项表示向负x方向进行的波。在y-z平面上所有质点的振幅和位相均相同，此称为沿x方向行进的平面波。平面声波具有以下特性：1)向正x方向行进的波称为入射波，而向-x方向行进的
的距离，即声传播速度。
10.4.2射线声学基础
实际海洋不是理想的均匀介质，求解上述的波动方程是极其复杂的。但如果声波波长与介质的不均匀尺度相比可忽略不计时，与光学相似，常以射线方法定性描述声波的传播轨迹，即对高频情况射线声学是适用的。在无限均匀介质中，平面波的波振面与传播方向垂直，在任意波振面上波强度为恒量。若辐射为球面波，设发射总功率为Pa
式中J1为半径r1的波振面上的声强度，J2是半径为r2的波振面上的声强度，因此得
若声波为柱面波，则有
式中l是发射圆柱面长度，r是波振面距发射中心的距离。任何辐射形式下，波振面任一点的法线方向即为波的传播方向。相邻波振面上法线的轨迹即是声线。它代表波的传播路径。用此方法描述声波的传播称为射线声学。与几何光学相同，声的射线理论也基于折射定律。已知声线的轨迹方程为
其中n为折射率，ds为声线弧上的一小段。设介质的声速是分层的，
线的轨迹是一曲线，如图10—6示。
在曲线上任取一段ds，n仅为z的函数，即有
则有
由图可得
因此得
此即为折射定律。
可从费尔玛原理证明，当在一个波长的距离上介质的折射率没有剧烈变化时，射线理论是波动理论的一级近似。在海洋中，若海水的不均匀性是缓变的，应用射线理论逐层分析，物理图象清晰。在介质突变区(如海底、跃层等)，则需直接用折射定律计算。
10.4.3分层不均匀海洋中的射线声学
设海洋是分层声速不均匀介质，c=c(z)，折射率n=c0/c。根据声线的轨迹方程和折射定律有
得
是正值，声线向下弯曲。也就是声速为正梯度时水下声源发出的声线向海面弯曲；声速为负梯度时声线向海底方向弯曲，如图10—7。
取θ0为z=0处的声线与水平方向的夹角，则有
此即二度空间的声线轨迹方程式，轨迹曲线的形式主要取决于分布函数c＝c(z)的形式。
10.4.4海洋中声的波导传播和反波导传播
根据声的射线理论，在某典型水文条件下，声传播损失较小，我们称此
即为正声速梯度分布。这多见于浅海冬季或深海2000m以下的水层(主要是静压力作用)。通常在深海的上层，大的正梯度分布是罕见的。只有当盐度和温度都随深度增加时，这种大的正声速梯度分布才可能是稳定的。声速分布函数写为c(z)=c0(1+αz)，c0为海表面声速，a为常数。则声线的轨迹方程为
在图10-7a中声线没有经过海底而弯向海面反射回来，在此情况下不存在海底吸收和散射，所以冬季声能的传播距离较夏季远得多。这种声线传播路径称为海洋中声的波导传播。于炎热夏季的浅海中声速随深度的分布多为负梯度，从声源辐射的声线束弯向海底(10-7b)。由于海底对声波的吸收和散射，经海底反射回来的声能减弱；特别是在图中斜线表示声的影区内，没有直达声，只有散射声。所以声的传播距离受到极大的限制，这就是在§10.1.1中所说的“午后效应”。这种声的传播路径称为反波导型传播。
海水的温度不仅随深度变化，也随昼夜变化，因此传播条件是不稳定的。表层温度比底层愈高，则声线愈向海底弯曲，传播的条件也愈差。夏季热而无风的天气，表层温度很高，故声的传播条件最差。
就传播而言还有几种较为重要的声速铅直分布情况。如夏季有风时，海洋表层通常有一温暖的混合层，水层中温度徐缓下降，有时近于等温层。在中国近海黄海和东海混合层的厚度约为十几米至二十几米。上层为弱的负梯度，此层以下出现温跃层，则产生折射与反射，声能因而减弱，如图10—8，跃层对声波起部分屏障作用。秋季，温带海区的上混合层基本是等温的，在稍深些海区，温度甚至随深度略有升高，此时温跃层渐趋减弱或消失。上层声速分布为正梯度的声线束的传播的轨迹如图10—9所示。在等温层的下边界(即声速分布由正梯度变为负梯度时)，声线束会分裂，上部分声束渐次弯向表面，而下部分声束则向下弯曲。
10.4.5深海水下声道
早在第二次世界大战期间，伊文(M.Ewing)等人先后用炸药作为水下声源在大西洋和太平洋进行水声实验时，就发现在超过通常接收距离几百倍的地方竟能接收到爆炸信号。声的这种超远距离传播称为声道现象。世界各大洋区都有水下声道。用射线的概念，很容易解释水下声道现象。大洋中各层海水的温度、盐度、静压力不同，各层的声速也相应不同。图10—10是伊文等人在1948年发表的典型亚热带大西洋声速铅直分布曲线。在温带和热带的大洋深水区，由于水温随深度增加而下降，在某个深度上压力对声速有显著影响，使c(z)曲线有极小值。若将声源置于声速极小值所在处，从声源向各方向辐射的声线束将按图10-10中的路径向声速极小值所在的水层弯曲。此时声速极小值上下的水层有类似透镜聚焦的作用，将声能的大部分限制在此水层间。我们称声速极小值所在的深度为声道轴。根据折射定律，从声源向各方向辐射的声线经过一段距离后，重新会聚在声道轴上下的水层中，所辐射的大部分声能被限制在声道轴上下具有一定厚度的水层中传播，能量损失最小，声能大部分集中的水层称为声道。此亦属于波导型传播。从声能方面分析，自声源辐射的大部分声线都没有经过海底和海面的反射，除去小部分由于传播过程中海水介质的吸收和散射外，总能量损失极小，因而可以传播较远距离。在大西洋的中纬度地区，声道轴约在海深1260m附近，而在太平洋中纬度地区则常在900m深的地方。在极地海域，声道轴上升到冰层以下的水面附近。有些近岸的大陆架海区，声道轴约在水下60～100m附近，这种情况称为表面声道。有的海区有两个声道：一个是表面声道，另一个是水下声道。表面声道常常是不稳定的，声波在表面声道中不如在水下声道中传播得远。这是因为表面波浪和大量气泡引起的散射使声能损失了一部分。
人们利用声波在声道中的超远传播特性，在大洋中三个不同方位的岛屿上设置声发(SOFAR)接收站(或称声发系统)，遇难船只或坠海飞行员投掷少量炸药，数千千米外的声发站便能接收到此爆炸信号。人们可由爆炸信号到达三个接收站的时间差，确定出爆炸点的位置，从而找到营救目标。据此还可预报海底火山爆发和海底地震引起的海啸。
10.4.6浅海表面声道
中国沿海广阔海域大部属于浅海大陆架海域，深度大多在200m以内。声呐在冬季的作用距离比夏季远得多。这是因为冬季的传播条件为波导型，而夏季为反波导型传播。中国大陆架浅海区冬季水温铅直分布基本上是均匀的，而由于静压力作用，下层声速略大于上层，形成弱的表面声道(图10—7)。如果发射器有方向性，声波在其间传播，除海面波浪和气泡的散射外，能量损失较小，因此传播距离相对增加。其它季节里，多数海区出现温度跃层。在中国近海黄海海区夏季可形成强的温跃层(图10—8)，其它如渤海、东海也有弱的温跃层。春季出现的温跃层较弱，跃层的深度也较浅，秋季跃层逐渐变弱，至冬季上层变为混合层或弱的负梯度，此种传播条件形成了浅海表面声道，如图10—9所示。