第一节 地理空间
五、地理空间的表达
地理空间的表达是地理数据组织、存储、运算、分析的基础。地理空间的表达方法可以概括为矢量、栅格、三角形不规则网、Voronoi等几类。以此为基础，可以构造地理空间各种不同的数据模型和数据结构。
1．矢量表达法
矢量本身是数学上的概念，运用到地理信息系统中，则不同的空间特征具有不同的矢量维数。
1）0维矢量
0维矢量即空间中的一个点。点在二维欧氏空间中用唯一的实数对（x，y）来表示，在三维欧氏空间中用唯一的数组（x，y，z）来表示。在数学上，点没有大小、方向。
2）一维矢量
一维矢量表示空间中的一个线划要素，或者空间对象之间的边界，亦称为弧段、链。在二维欧氏空间中用一组离散化实数点对来表示：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
其中n为大于1的整数。同理，在三维空间中则表示为：
（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，（xn，yn，Zn）
其中（x1，y1）或（x1，y1，z1）是起始点，（xn，yn）或（xn，yn，Zn）是终止点。起始点和终止点又统称为结点。位于起始和终止点之间的其它点，包括（x2，y2），（x3，y3），…（xn-1，yn-1），或者在三维空间中的（x2，y2，z2）（x3，y3，z3），…（xn-1，yn-1，zn-1）称为拐点。
一维矢量可以闭合，即弧段首尾相接，存在如下关系：
x1=xn
y1=yn
z1=zn（对于三维空间的情况）
但弧段不能与自身相交。如果相交，则应以交点为界将该一维矢量分成几个一维矢量，如图2．5（C）中可以区分出2个一维矢量（x1，y1），…，（xn，yn）和（xn，yn），…，（xn，yn）。图2．5（d）中可以区分出三个一维矢量（x1，y1），…，（xm，ym）和（xm，ym），…，（xm，ym）和（xm，ym），…，（xn，yn）。
一维矢量具有方向，起自于起始结点，结束于终止结点。一维矢量具有一定的长度，等于在矢量方向上相邻两点之间的距离之和。引入欧氏空间距离的概念，可以表示为：
在三维空间中一维矢量的距离有两种概念，一种是沿路程距离，可以表示为：
另一种是平面投影距离，与在二维平面上的距离定义相同：
平面投影距离为地图学研究广泛采用。
3）二维矢量
二维矢量表示空间的一个面状要素，在二维欧氏平面上是指由一组闭合弧段所包围的空间区域。由于面状要素是由闭合分弧段所界定的，故二维矢量又称为多边形。
描述二维矢量的参数特征很多，主要参数讨论如下：
（1）面积：在二维平面上二维矢量的面积就是对闭合多边形取面积和。设闭合多边形表示为函数关系：
f（x，y），（x，y）∈s
其中S为实数集的有限子集。则面积公式可以写为：
三维曲面的面积包含两种概念，一种是指三维曲面的表面积，计算上十分复杂；另一种是将三维曲面积投影到二维平面上，计算其在平面上的投影面积。方法与在二维平面上的运算方法相同，这是目前广泛应用的计算方法。例如，整个中华人民共和国的总面积为960万平方公里，这个面积值并不是指中国整个领土复杂的地形面上的表面积，而是指中国这一地理空间投影到地球旋转椭球体表面的面积。这个旋转椭球表面在Albers投影系下又可以转化为二维笛卡儿平面直角坐标系。
（2）凸凹性：用于二维矢量的形态描述。在计算几何学中定义了多种不同类型的多边形，凸多边形是指多边形的所有边之间的内夹角小于180°，它具有这样一种特性：如果从内部点向其它任意一内部点引射线，则两点之间的线段必然完全落在多边形以内；反之，凹多边形是指，在多边形上总能找到两点，使两点之间的连接线段上总有一部分位于多边形以外。
（3）单调性：设有欧氏平面上若干点的有序点到组成的链C=[p1，p2，…，pn]，当且仅当在欧氏平面上的若干线段，使结点在这些线段上的投影点保持原有的顺序，则称C为单调的。显然，所有凸多边形都是单调的。
（4）走向、倾角和倾向：这是在地形描述、地层描述中常用的概念，是三维空间中曲面法向矢量的另外一种描述方法。
在三维欧氏空间中表达的二维矢量，就是指空间曲面。用矢量的方法表示空间曲面是非常复杂的，实现的方法也多种多样。一种就是等高线表示法，将空间中高程Z值相等的点连接起来组成一维弧段，多组不同高程的一维弧段组合起来就可以构成对三维曲面的描述。第二种方法可称为剖面表示法，就是把三维曲面划分为一系列按特定的方向展布的剖面，多组剖面也可以构成对三维曲面的完备描述。
4）三维矢量
三维矢量就是指三维空间中的实体，也就是由一组或多组闭合曲面所包围的空间对象。