第一节 地理空间
六、地理空间的拓扑
1．拓扑变量与不变量
“拓扑”（Topology）一词来自于希腊文，它的原意是“形状的研究”。拓扑学是几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。拓扑变换在各种类型的空间研究中有着广泛的应用。
理解拓扑变换和拓扑属性时，我们可以设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里德平面，这块橡皮可以任意地被拉伸、压缩，但不能被扭转或者折叠，表面上有由结点、弧、环和区域（Node，Arc，Loop，Area）组成的任何可能的图形。我们若是对这块橡皮进行任意地拉伸、压缩，但不扭转或者折叠，则在橡皮形状的这些变换过程中，图形原有的一些属性将得到保留而继续存在，而有些属性则将消失。例如，设想橡皮表面上有一个多边形，并且还有一个点在多边形中，当对橡皮进行任意的拉伸、压缩后，点依旧存在于多边形内部，点和多边形之间的空间位置关系不会改变，但是多边形的面积将会发生变化。这时，我们称“点的内置”是拓扑属性，面积则不是拓扑属性，而拉伸和压缩这样的变换就是拓扑变换。
表2．1列出了欧几里德平面上实体对象所具有的拓扑和非拓扑属性。
拓扑学为空间关系的研究提供了数学方法，在地理空间关系的研究中，它通过地理特征（Geographic features）的序列研究，揭示了空间关系的不同类型。地理空间研究中的三个重要拓扑概念：
（1）连接性（Connectivity）：弧段在结点处的相互联接关系。
弧段与结点的拓扑关系（Arc-node topology）表现了连接性。每个弧段都有一个起始端点和一个终止端点，从起始端点到终止端点表示了弧段的方向，而所有弧段的端点序列则定义了弧段与结点的拓扑关系，计算机就是通过在端点序列中找到弧段之间的共同结点来判断弧段与弧段之间是否存在连接性。
如图2．8所示，由于弧段①与③享有共同结点，因此，计算机可以确定跟踪弧段①并直接转到弧段③是可能的，而要跟踪弧段①直接到达弧段⑤则是不可能的，因为弧段①与⑤没有共同结点。
（2）多边形区域定义（Area definition）：多个弧段首尾相连构成了多边形的内部域。
多边形与弧段的拓扑关系（Polygon-arc topology）表现了多边形区域定义。在矢量模型中，多边形区域是由一系列弧段序列组成的。
如图2．9所示，多边形F是由弧段7，8，9，10组成，其中弧段7形成了多边形的内岛。
（3）邻接性（Contiguity）：通过定义弧段的左右边及其方向性来判断弧段左右多边形的邻接性。
弧段的左与右的拓扑关系（Left-right topology）表现了邻接性。一个具有方向性的弧段，沿弧段方向有左边和右边之分。计算机正是依据弧段的左边与右边的关系来判断位于该弧段两边多边形的邻接性。
如图2．10所示，B多边形和C多边形分别在弧段6的左边和右边，因此，多边形B和多边形C具有邻接性。
如上所述，基于结点—弧段—多边形（Node-arc-polygon）的拓扑分析，描述了空间实体之间的连接性和邻接性。但是，它对于两种不同的空间配置仍有可能给出相同的拓扑关系描述，组合图理论解决了这一空间配置的二意性组织问题。
如图2．11所示，图形A可以看作是从圆D中除去椭圆E，也可以看作是由两个新月型B和C组合而成，图2．11就是一个空间配置具有二意性的组合图问题。这里，假定A是由B和C组合而成的。
为解决组合图问题，定义由结点和弧段形成的组合图边界网络遵守如下规则：弧段具有方向性，若沿着弧段运动时，由弧段组成的多边形对象总是位于弧段的右边，弧段的这一运动方向就是弧段的正方向；当弧段运动至某个结点时，以结点为轴按反时针方向旋转，选取尚未走过的弧段正方向离开结点的几个弧段中的第一个弧段；由上规则跟踪完所有弧段为止。
如图2．12所示，假定弧段运动从结点X开始，并沿弧段1运动；到达结点Y时，绕Y依反时针方向旋转，搜索到尚未走过的正方向为离开结点Y的第一个弧段，这就是弧段2；又回到X结点，按照选取弧段2的同样方法，搜索下一个弧段，由于弧段1已经走过，继续搜索，就找到了弧段4；如此下去，直至再没有弧段可走。这样就得到了两个新月型对象[1，2]和[3，4]。
